初等因子把多项式矩阵的 Smith 标准形，直接转译为数值矩阵的 Jordan 块。 对复数域上矩阵 $A$，考察 $\lambda I-A$；其每个初等因子 $(\lambda-\lambda_j)^k$ 对应一个 $k$ 阶 Jordan 块 $J_k(\lambda_j)$。

1. 从不变因子到初等因子

将多项式矩阵 $D(\lambda)$ 经可逆（幺模）多项式行列变换化成 Smith 对角形式：

$$ \operatorname{diag}(d_1(\lambda),\ldots,d_r(\lambda),0,\ldots,0),\quad d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_r. $$

其中非零的 $d_i$ 称为不变因子。再把各 $d_i$ 在所研究的数域内分解为不可约多项式的幂。每个正指数的不可约多项式幂（计重数）就是初等因子。在复数域上，不可约因子均为一次式，故初等因子形如 $(\lambda-\lambda_j)^k$。

注意：$d_i=1$ 不产生初等因子；不能只读最大的不变因子就猜测全部 Jordan 块。

2. 为什么它决定 Jordan 标准形

两个同阶复矩阵 $A,B$ 相似，当且仅当 $\lambda I-A$ 与 $\lambda I-B$ 作为多项式矩阵等价；也当且仅当二者的初等因子（带重数）相同。

对于一个 Jordan 块 $J_k(\mu)$，$\lambda I-J_k(\mu)$ 的唯一非平凡初等因子是 $(\lambda-\mu)^k$。因此：

$$ (\lambda-\mu)^k\ \longleftrightarrow\ J_k(\mu). $$

将所有初等因子对应的 Jordan 块直和，就得到 Jordan 标准形（块排列次序不重要）。

3. 与特征、多项式和可对角化的关系

对方阵 $A$（在复数域）：

• 特征多项式 $\chi_A(\lambda)$ 是全部初等因子的乘积。
• 最小多项式 $m_A(\lambda)$ 是全部初等因子的最小公倍式，即每个特征值所对应的最大幂次。
• $\lambda_j$ 的代数重数是对应初等因子的指数之和。
• $\lambda_j$ 的 Jordan 块数是其初等因子的个数，也等于 $\dim\ker(A-\lambda_jI)$。
• $A$ 可对角化当且仅当所有初等因子的幂指数均为 $1$（等价于最小多项式无重根）。

4. 例题（教学补充）

设 $A=J_2(3)\oplus[3]$。初等因子是 $(\lambda-3)^2$、$(\lambda-3)$。于是