若标量 $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}c_kz^k$ 的收敛半径为 $R$，当 $\rho(A)<R$ 时，矩阵级数 $\sum_{k=0}^{\infty}c_kA^k$ 收敛并表示 $f(A)$。边界 $\rho(A)=R$ 不能用这个充分条件直接判定。
指数、正弦、余弦是整函数，对任意有限阶方阵均可通过级数定义：
$$ e^{tA}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^kA^k}{k!},\quad \sin A=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kA^{2k+1}}{(2k+1)!}. $$
$$ \frac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}=e^{tA}A,\qquad e^Ae^{-A}=I. $$
若 $AB=BA$，则 $e^{A+B}=e^Ae^B=e^Be^A$；非交换时通常不能直接拆分。对任意方阵：
$$ \det(e^A)=e^{\operatorname{tr}A}. $$
注意左边是 行列式，不是矩阵 $e^A$ 本身等于标量 $e^{\mathrm{tr}A}$。